Kazimierz Paulin Stefan Żorawski urodził się 22 czerwca 1866 roku w Szczurzynie koło Ciechanowa (obecnie w granicach miasta) w zamożnej rodzinie ziemiańskiej Juliusza Bronisława Wiktora Żórawskiego (1833–1905) i Kazimiery z Kamińskich (kreskę nad „o” Kazimierz zagubił w szkole, członkowie rodziny w nazwisku zachowali „ó”). Miał trzech braci i dwie siostry (Bronisławę i Annę). Był jednym z tych stosunkowo nielicznych Polaków, którzy po zdaniu rosyjskiej matury (Kazimierz ukończył w 1884 roku IV Gimnazjum w Warszawie) podejmowali studia na rosyjskim Cesarskim Uniwersytecie w Warszawie. W całym zaborze rosyjskim był to jedyny uniwersytet, alternatywą był więc wyjazd bądź za granicę, bądź na jakiś uniwersytet w głębi Rosji. Kazimierz studiował więc tam w latach 1884–1888 filozofię i matematykę, uzyskując w 1889 roku stopień kandydata nauk matematycznych na podstawie rozprawy z zakresu astronomii, opartej na własnych obserwacjach.

Przebywając w 1886 roku na wakacjach w domu rodzinnym poznał Marię Skłodowską, domową nauczycielkę jego sióstr. Między młodymi zawiązała się sympatia, ale do ożenku dojść nie mogło, on bowiem był synem zamożnej rodziny, a ona niezamożną nauczycielką. Ostatni raz spotkali się w 1891 roku w Zakopanem.

Korzystając z przyznanego mu przez Uniwersytet Cesarski stypendium, Żorawski wyjechał na trzy lata (1888–1891) na studia uzupełniające do Getyngi i Lipska. Dopiero one ukształtowały go jako badacza, a decydujący nań wpływ wywarł wybitny matematyk norweski Sophus Lie, pracujący w Niemczech, u którego Żorawski doktoryzował się w Lipsku w 1891 roku1. Wysoko ocenił tę rozprawę promotor, omawiając bowiem w III tomie swojej monografii Transformationsgruppen (1891) prace różnych matematyków z tego zakresu, tak się wyraził: „Spośród lipskich dysertacji wymieńmy piękną pracę Żorawskiego o niezmiennikach gięcia [...] Żorawski z wielką zręcznością wykonał trudne i skomplikowane obliczenia, potrzebne do rozwiązania zagadnienia”2.

Po powrocie do kraju Żorawski habilitował się w Szkole Technicznej we Lwowie w 1892 roku i został tam docentem. Rok później przeniósł się na Uniwersytet Jagielloński w Krakowie, gdzie najpierw był docentem, od 1895 roku profesorem nadzwyczajnym, a od 1898 roku profesorem zwyczajnym, kierownikiem I Katedry Matematyki, którą zajmował w latach 1895–1919. Uzyskawszy subwencję rządową, wyjechał na rok (1901–1902) na dalsze studia w Lipsku i Paryżu.

„Żorawski był uczniem Liego, twórcy teorii ciągłych grup przekształceń. Zagadnieniem, z którego teoria ta wyrosła, było pytanie, jakie uproszczenia możemy uzyskać w procesie całkowania równań różniczkowych zwyczajnych i o pochodnych cząstkowych, jeżeli występujące w nich zmienne będziemy poddawali różnym przekształceniom i jak można sklasyfikować takie równania za pomocą różnych rodzajów przekształceń. Systematyczne i głębsze badanie takich zagadnień doprowadziło Liego do stworzenia teorii grup ciągłych jako odrębnej dyscypliny matematycznej o własnych pojęciach i problemach. Gdy Żorawski przybył do Lipska, gdzie Lie był profesorem tamtejszego uniwersytetu, teoria grup ciągłych była świeżym, nowo odkrytym terenem badań, pociągającym swymi zagadnieniami wielu wybitnych matematyków. Prace tych uczonych poszły w dwóch głównie kierunkach: jedni [...] zajmowali się tym, co dzisiaj nazywamy strukturą abstrakcyjnych grup Liego [...]; inni, jak [...] Żorawski, interesowali się przede wszystkim zastosowaniami teorii grup do geometrii i różnych działów analizy”3.

Ulubionym terenem badań Żorawskiego „były zagadnienia równoważności dwóch tworów analitycznych lub geometrycznych względem pewnej grupy przekształceń, innymi słowy zagadnienia konstrukcji pełnego układu niezmienników różniczkowych takich obiektów”4. Takie było w szczególności następujące zagadnienie: dane są dwie powierzchnie w przestrzeni euklidesowej. Kiedy można między ich punktami ustalić odpowiedniość wzajemnie jednoznaczną tak, aby metryka w odpowiadających sobie punktach była taka sama? Pierwszym takim niezmiennikiem była krzywizna Gaussa, natomiast Żorawski podał pełny układ niezmienników, co wysoko ocenił Lie. Zagadnieniom pokrewnym poświęcił trzy dalsze prace, opublikowane w „Sprawozdaniach Saskiej Akademii Nauk”.

Inną dziedziną badań Żorawskiego była teoria niezmienników całkowych, stworzona przez Henri Poincarégo i Sophusa Liego, a później upowszechniona przez Édouarda Goursata i Élie Cartana. Żorawski uzyskał i w tym zakresie ważne wyniki, jednakże publikował je po polsku, czasem tylko dodając streszczenie w języku niemieckim5. W rezultacie wyniki te bywały odkrywane powtórnie, a Lie na temat jednej z tych prac tak się żalił: „Jest to niewątpliwie cenna praca o niezmiennikach całkowych. Niestety, mogłem odczytać jedynie wzory, bez tekstu tej polskiej rozprawy”6. Także Charles de la Vallée Poussin skarżył się, że jakaś praca Żorawskiego jest trudno dostępna ze względów językowych7. Żorawski ogłosił w końcu obszerny wyciąg swoich wyników w tym zakresie po niemiecku8, ale uczynił to za późno i nie przywróciło mu to już pierwszeństwa.

Dotykamy tu trudności charakterystycznej dla matematyków polskich i innych polskich przedstawicieli dyscyplin ścisłych, a mianowicie: chcąc zaistnieć w nauce, trzeba publikować w językach, jakie są w danym okresie w międzynarodowym obiegu; publikując po polsku, pozostaje się nieznanym i bez wpływu na swoją dyscyplinę. W przypadku Żorawskiego nałożyła się jeszcze na to jego niemal chorobliwa skromność, połączona z surowością w ocenie swoich wyników. Te fragmenty jego twórczości, które się przebiły do świadomości matematyków w świecie, zyskiwały jednak wysokie uznanie. Cenił go Lie i Cartan, a Felix Klein wspomniał go jako jedynego matematyka polskiego w swojej historii matematyki XIX wieku9.

W okresie 1900–1926 Żorawski interesował się głównie ruchem ośrodka ciągłego, korzystając zaś w swoich badaniach z teorii grup Liego napisał na ten temat kilkanaście prac. O kilku powiemy10. Dwa podstawowe twierdzenia Helmholtza o własnościach wirów zostały przezeń udowodnione przy pewnych założeniach o siłach działających na ciecz. Żorawski zapytał, jakie własności musi mieć wir, aby twierdzenia Helmholtza były prawdziwe bez założeń dynamicznych i dał na nie pełną odpowiedź, a następnie uogólnił swoje twierdzenia na przypadek n-wymiarowy. O wartości tych wyników Żorawskiego może świadczyć wracanie do nich jeszcze w latach 50.11 Ważna była też jego praca odnosząca się do deformacji przestrzeni euklidesowej: jeśli przestrzeń euklidesowa Rⁿ z zadanymi współrzędnymi krzywoliniowymi i zadanym elementem liniowym ds zostaje poddana deformacji x^h = x^h + φ(x¹, ... , xⁿ), to zdeformowany element liniowy ds będzie zawierał współczynniki deformacji b_hi. Żorawski pytał, jakie warunki muszą spełniać funkcje b_hi, aby istniała deformacja o tych składowych i dał na nie odpowiedź. Było to pytanie, które w przypadku n = 3 i współrzędnych prostokątnych było przedmiotem prac Eugenio Beltramiego, Gustava Roberta Kirchhoffa i innych.

Z innych obszarów działalności naukowej Żorawskiego należy wymienić teorię równań różniczkowych i geometrię różniczkową. W zakresie tej pierwszej podał m.in. pełny układ niezmienników różniczkowych układu równań różniczkowych drugiego stopnia względem ogólnej grupy przekształceń. Aczkolwiek w pracy tej nie było żadnych interpretacji geometrycznych, to w istocie zawierała ona, jako przypadek szczególny, teorię przestrzeni o korelacji afinicznej, stworzoną później przez Jana A. Schoutena i Hermana Weyla. Z kilku zaś prac odnoszących się do geometrii różniczkowej bodaj najważniejsza była ta zawierająca pełny układ niezmienników różniczkowych powierzchni w 3-wymiarowej przestrzeni afinicznej.

Żorawski był typem samotnika i uczniów miał niewielu, ale dobrych. Pierwszym był przedwcześnie zmarły Władysław Gąsiorowski, doktoryzował się u niego Pająk i Władysław Ślebodziński, miał wpływ na Antoniego Hoborskiego. I od dwóch ostatnich, Ślebodzińskiego i Hoborskiego, zaczęła się w Polsce rozwijać geometria różniczkowa. Wywierał też wpływ na innych, m.in. na rozprawę doktorską Franciszka Leji, zawierającą rozwiązanie pewnego zagadnienia z teorii grup przekształceń. Był jednym z tych bardzo jeszcze nielicznych pod koniec XIX wieku Polaków, dzięki którym „matematyka polska przestała być wyłącznie konsumentem cudzych myśli i cudzych wyników”12.

Nie zaniedbując pracy naukowej, Żorawski brał także aktywny udział w życiu Uniwersytetu Jagiellońskiego: był dziekanem wydziału (1905/1906), rektorem uniwersytetu (1917/1918) i jego prorektorem (1918/1919), a nadto przez kilkanaście lat zarządzał Bursą Akademicką, reorganizując ją i budując dla niej nowy gmach. A pod koniec I wojny światowej uczestniczył w organizowaniu Akademii Górniczej.

Po odzyskaniu przez kraj niepodległości Żorawski przeniósł się w 1919 roku do Warszawy na stanowisko profesora zwyczajnego Politechniki Warszawskiej i kierownika Katedry Matematyki Wydziału Inżynierii Lądowej (1920–1927). W trudnym okresie początków II RP był w latach 1920–1921 dyrektorem Departamentu Nauki i Szkół Wyższych Ministerstwa Wyznań Religijnych i Oświecenia Publicznego (kiedy ministrem był Maciej Rataj). A potem przeszedł na Uniwersytet Warszawski, gdzie w latach 1926–1935 kierował II Katedrą Matematyki. W tym czasie wydał obszerny podręcznik geometrii analitycznej13. Po przejściu w 1935 roku na emeryturę został profesorem honorowym UW.

Zasługi naukowe Żorawskiego były doceniane przez współczesnych, czego wyrazem były przyznawane mu członkostwa i odznaczenia. Był więc członkiem Akademii Umiejętności w Krakowie (korespondent 1900, czynny 1916), członkiem Królewskiego Czeskiego Towarzystwa Nauk w Pradze (1910), członkiem Towarzystwa Naukowego w Peru (1929), członkiem Towarzystwa Naukowego Warszawskiego (od 1920, prezesem 1925–1931), członkiem czynnym Akademii Nauk Technicznych (1923), członkiem tytularnym PAN (1952). Odznaczony był także Złotym Krzyżem Zasługi i Krzyżem Komandorskim Orderu Odrodzenia Polski.

Żorawski był żonaty z Leokadią z Jewniewiczów; mieli troje dzieci: syna Piotra i dwie córki. Zmarł 23 stycznia 1953 roku w Warszawie.