Przyszedł na świat 17 IV 1773 r. w Makowie Mazowieckim. Młody Anzelm został wcześnie osierocony przez rodziców (właścicieli niewielkiego majątku ziemskiego) i jego wychowaniem zajmował się starszy brat Marcin. Po ukończeniu szkoły pijarskiej w 1789 r. wstąpił do zakonu pijarów w Łomży i przybrał imię zakonne Wojciech. Święcenia kapłańskie przyjął 7 lat później, odbywszy w latach 1789–1791 nowicjat w Drohiczynie. Wiarę i wiedzę teologiczną pogłębiał wówczas w okolicznych kolegiach, w Szczuczynie i Łomży. Został nauczycielem i pracował w macierzystej łomżyńskiej Szkole Pijarów.

Duże wrażenie na księdzu Szweykowskim wywarła podróż po krajach niemieckich. Nasz bohater wyjechał tam służbowo w 1802 r., aby zdobyć doświadczenie w zakresie organizacji szkolnictwa. Ziemia łomżyńska należała bowiem do zaborcy pruskiego, który życzył sobie edukacji na wzór niemiecki. Po powrocie do kraju w 1804 r. Szweykowski dostał posadę profesora w gimnazjum płockim. Tam przeżył wojny Napoleona z kolejnymi koalicjami, tam napisał również dwie, wydane w 1808 r. ważne publikacje: Mowa na dzień 3 maja miana w kościele katedralnym płockim i Uwagi nad wyższymi szkołami polskimi w porównaniu do niemieckich. Pierwsza była przykładem znakomitej sztuki oratorskiej i wykładnią patriotycznych poglądów Szweykowskiego. Druga obrazowała poglądy pedagogiczne ówczesnego profesora szkół płockich. A były to poglądy bardzo ciekawe. W rozdziale VI autor pisze na temat kar cielesnych: „Zgadzam się i owszem na to, że nic nie masz gorszego, nad kary cielesne bez rozsądku i łagodności, a tym bardziej niesprawiedliwie wymierzane. Ale to tylko twierdzę, że je całkiem ze szkół i klas niższych uchylać, jest rzeczą trudną i niebezpieczną”. W ostatnim zaś rozdziale Szweykowski przedstawia swoje zdanie na temat władzy szkolnej: „urząd Rektorów nie powinien częstej zmianie podlegać, może być dożywotnim. Obieranie, co 3 lub 4 lata, nowego Rektora, było niepotrzebnym niezgód niesieniem i nie zawsze dobro powszechne miało na celu”. Podkreślmy, że pisząc te słowa, nie miał pojęcia, że za lat 10 sam zostanie rektorem.

Rok po utworzeniu Księstwa Warszawskiego został dyrektorem Szkoły Departamentowej w Sejnach. Ważnym wydarzeniem w jego życiu była przeprowadzka do Warszawy w 1810 r. Znał już to miasto, ponieważ krótko, z przerwami, uczył od 1794 r. w warszawskich kolegiach. Teraz jednak został w stolicy Księstwa Warszawskiego na stałe, początkowo obejmując posadę profesora języka i poezji w Liceum Warszawskim.

Wkrótce jego naukowe i pedagogiczne talenty zostały dostrzeżone i zaczęły o niego zabiegać szacowne instytucje: Towarzystwo Przyjaciół Nauk i nowo powstały Królewski Uniwersytet Warszawski. Uczelnia miała pożytek ze Szweykowskiego już od samego początku swej działalności, albowiem dyplom erekcyjny, nadany 19 XI 1816 r., posiłkował się wiadomościami z pracy jego autorstwa: Projektu do urządzenia hierarchii akademickiej w krajach Księstwa Warszawskiego.

W namalowanej przez Antoniego Brodowskiego scenie nadania aktu erekcyjnego uczelni car Aleksander wręcza dyplom fundacyjny pierwszemu rektorowi, a jest nim właśnie Szweykowski, ubrany w stosowny strój i z rektorskim łańcuchem na piersi. Jednak scenę tę malarz sobie wyobraził, ponieważ w rzeczywistości w dniu powołania uczelni do życia Szweykowski był tylko profesorem teologii i homiletyki.

Od stycznia 1817 r. uczestniczył w posiedzeniach Rady Ogólnej Królewskiego Uniwersytetu Warszawskiego i należał do aktywnych jej członków. To on przedstawiał Radzie Ogólnej projekt ówczesnego statutu uczelni, zatytułowany Tymczasowe Urządzenie Wewnętrzne Uniwersytetu Królewsko-Warszawskiego. Dziekanem Wydziału Teologicznego wybrano go w dopiero w lutym 1818 r. Formalnie przejęcie obowiązków dziekańskich, jak napisano w protokołach Rady Ogólnej, miało nastąpić „w poniedziałek przyszły, to jest 2 marca o 5 po południu w przytomności wszystkich profesorów”. Wspomnianego dnia na specjalnym posiedzeniu stało się jednak coś ważniejszego niż tylko zatwierdzenie nowych dziekanów. Wtedy to 21 profesorów powołanych przez Komisję Rządową wybrało rektora. W głosowaniu aż 15 głosów oddano na Szweykowskiego, podczas gdy jego główny rywal do rektorskiego berła Samuel Bogumił Linde otrzymał tylko 4 kreski. Uroczyste objęcie obowiązków rektorskich połączono z oficjalną inauguracją uczelni. Ceremonia nastąpiła 14 V przy wspólnie odśpiewanym Te Deum Laudamus. Z tej okazji wybito pamiątkowe medale i wydano Obchód uroczystej Inauguracji Uniwersytetu Królewsko-Warszawskiego. W przemówieniu Szweykowski powiedział: „Ja, przywykły do zacisza, mając zlecone przewodniczenie mężom dobranym z nauki, otrzymuję zaszczyt, nad który większego przed sobą nie widzę. Imię moje dotąd nie znane, zapisanym będzie na czele imion, które uświetnić mają, już wspaniały w początkach swoich odrodzonej Polski muz przybytek”.

Jak większość Polaków, Szweykowski z radością i nadzieją witał utworzenie Królestwa Polskiego, wierząc, że jest to zapowiedź wskrzeszenia wielkiej Rzeczypospolitej. Jednakże ramię politycznego drogowskazu kierowało kraj w przeciwną stronę. Po czteroletniej kadencji, Szweykowskiego ponownie wybrano rektorem 2 III 1822 r., a w 1826 r. Komitet Reform postanowił poważnie okroić autonomię uniwersytetu, znosząc np. wybór rektora i wprowadzając jego mianowanie przez Komisję Rządową. Coraz bardziej konserwatywne i uległe Rosjanom Ministerstwo Oświaty pierwszym mianowanym rektorem uczyniło... Szweykowskiego. Tak nakazywała dyplomacja i polityczne kalkulacje. Szweykowski nominację przyjął, ale trzykrotnie zwracał się do władz z apelem o przywrócenie wyborów.

Rektor UW należał do najbardziej znanych działaczy oświatowych okresu Królestwa Polskiego. Nie był typem usłużnego wobec zaborców urzędnika, choć stanowczo sprzeciwiał się wszelkim buntowniczym pomysłom. Wobec studentów potrafił być podejrzliwy i mało tolerancyjny. W lipcu 1819 r. wydał surowe postanowienie o „zakazie zabraniającym wszelkich związków i schadzek”. W przeddzień 3 V 1826 r. zabronił studentom jakiegokolwiek świętowania, zapominając o swojej postawie i śmiałym wystąpieniu w katedrze płockiej sprzed równo 20 lat. Jednak wydany w 1845 r. „Przyjaciel Ludu” widział w pierwszym rektorze same zalety: „Dobry Polak, niepospolity mówca, a co najważniejsze, urzędnik z osobliwym i najszczęśliwszym taktem. Kochany dla wielu swoich cnót”. Półtora wieku później prof. Maria Wawrykowa tak oceniała postawę ówczesnego rektora: „Chociaż w walce młodzieży z policją postawa rektora może budzić niekiedy wątpliwości, to jednak w istocie czynił on wszystko, aby młodzież osłaniać i ratować”.

Niedługo przed wybuchem powstania listopadowego rektor wystąpił ze znamiennym przemówieniem, które tak zapamiętał jeden ze studentów prawa: „Gdziekolwiek mówił rady, nauki, przestrogi, to widać było, że płynęły z serca, z przekonania, gdziekolwiek wystąpił z pochwałami dla Moskali, to widać było wymuszoność, nawet twarz okazywała, że co innego myśli, a co innego mówić musi”.

Szweykowski był członkiem Komisji Rządowej Wyznań Religijnych i Oświecenia Publicznego, Deputacji do Spraw Ustalenia Prawideł Pisowni Polskiej, Warszawskiego Towarzystwa Przyjaciół Nauk, honorowym profesorem Uniwersytetu Wileńskiego. W 1818 r. za dysertację O wzajemnej potrzebie łączenia nauk teologicznych z innymi uzyskał doktorat z teologii na Uniwersytecie Jagiellońskim. W 1822 r. kapituła płocka podniosła go do godności prałata-kustosza. Jego mieszkanie, opisane dokładnie w dokumencie pt. „Murgrabia Pałacu Kazimierzowskiego”, znajdowało się w Gmachu Porektorskim w „nowopowstałej oficynie po lewej stronie od Pałacu Kazimierzowskiego, idąc ku bramie. Jest na pierwszym piętrze, wchodząc w trzecie drzwi sienne”.

Po wybuchu powstania listopadowego nowym rektorem wybrano Józefa Skrodzkiego. Ustępujący rektor usunął się w cień. Nie podzielał entuzjazmu młodzieży do walki z caratem i nie wierzył w skuteczność powstania. Zmarł w Warszawie 5 VIII 1838 r., gdy jego uczelnia już nie istniała, rozwiązana dekretem carskim, będącym jednym z przejawów „porządków” popowstaniowych.

Dziś pamięć o Szweykowskim jest wciąż żywa, uczelnia z wdzięcznością wspomina swego pierwszego rektora, zwłaszcza podczas listopadowych obchodów Święta Uniwersytetu. Zapewne w sposób szczególny i osobisty pamięć o Szweykowskim czci prof. Jan Jakub Milewski z Instytutu Krajów Rozwijających się, a to dlatego, że bohater niniejszego tekstu jest jego ciotecznym pra-, pra-, pradziadkiem.

Niestety nie wiemy, gdzie spoczywają szczątki pierwszego rektora UW. Jego grobu poszukiwano jeszcze w II RP. Na próżno.